自动控制——过阻尼、欠阻尼、临界阻尼及无阻尼
自动控制——过阻尼、欠阻尼、临界阻尼及无阻尼
引言
在自动控制系统和振动分析中，系统的阻尼特性对于系统的动态响应至关重要。阻尼决定了系统在受到扰动或输入信号后，如何恢复到稳定状态。本文将详细介绍过阻尼（overdamped）、欠阻尼（underdamped）、临界阻尼（critically damped）和无阻尼（undamped）的定义、公式，并通过Python代码演示不同阻尼条件下系统的响应。
系统的阻尼特性
考虑一个典型的二阶线性系统，其传递函数可以表示为：
H ( s ) = ω n 2 s 2 + 2 ζ ω n s + ω n 2 H(s) = rac{omega_n^2}{s^2 + 2zetaomega_n s + omega_n^2} H(s)=s2+2ζωns+ωn2ωn2
其中：
-
ω
n
omega_n
ωn是系统的自然频率。
-
ζ
zeta
ζ是阻尼比，定义为
ζ
=
c
2
m
k
zeta = rac{c}{2sqrt{mk}}
ζ=2mkc，其中
c
c
c是阻尼系数，
m
m
m是质量，
k
k
k是弹簧常数。
根据阻尼比 ζ zeta ζ的不同，系统的动态响应分为以下几种类型：
1. 无阻尼（Undamped）
当 ζ = 0 zeta = 0 ζ=0时，系统没有阻尼力的影响，其响应为纯粹的正弦波动，永不衰减。无阻尼系统在自然频率 ω n omega_n ωn下振荡。
x ( t ) = A cos ( ω n t ) + B sin ( ω n t ) x(t) = A cos(omega_n t) + B sin(omega_n t) x(t)=Acos(ωnt)+Bsin(ωnt)
2. 欠阻尼（Underdamped）
当 0 < ζ < 1 0 < zeta < 1 0<ζ<1时，系统处于欠阻尼状态。系统响应在频率 ω d = ω n 1 − ζ 2 omega_d = omega_n sqrt{1-zeta^2} ωd=ωn1−ζ2下振荡，并随着时间指数衰减。
x ( t ) = e − ζ ω n t ( A cos ( ω d t ) + B sin ( ω d t ) ) x(t) = e^{-zetaomega_n t} left( A cos(omega_d t) + B sin(omega_d t) ight) x(t)=e−ζωnt(Acos(ωdt)+Bsin(ωdt))
欠阻尼系统的特征是系统会振荡几次，然后逐渐趋于平衡。
3. 临界阻尼（Critically Damped）
当 ζ = 1 zeta = 1 ζ=1时，系统处于临界阻尼状态。此时系统响应速度最快，不会出现振荡，但也不会像过阻尼那样慢慢回到平衡状态。
x ( t ) = ( A + B t ) e − ω n t x(t) = (A + Bt) e^{-omega_n t} x(t)=(A+Bt)e−ωnt
临界阻尼是最理想的阻尼状态，它能确保系统迅速回到平衡而不出现振荡。
4. 过阻尼（Overdamped）
当 ζ > 1 zeta > 1 ζ>1时，系统处于过阻尼状态。系统响应不再振荡，但相比于临界阻尼系统，它恢复到平衡所需的时间更长。
x ( t ) = A e ( λ 1 t ) + B e ( λ 2 t ) x(t) = A e^{(lambda_1 t)} + B e^{(lambda_2 t)} x(t)=Ae(λ1t)+Be(λ2t)
其中， λ 1 lambda_1 λ1和 λ 2 lambda_2 λ2是系统的特征根，且 λ 1 , λ 2 < 0 lambda_1, lambda_2 < 0 λ1,λ2<0。
Python代码实现
下面的Python代码演示了一个简单的二阶系统在不同阻尼条件下的时间响应。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import lti, step
# 定义系统的自然频率和时间范围
omega_n = 5.0 # 自然频率
t = np.linspace(0, 5, 500)
# 定义不同阻尼比的系统
systems = {
'Undamped (ζ=0)': lti([omega_n**2], [1, 0, omega_n**2]),
'Underdamped (ζ=0.5)': lti([omega_n**2], [1, 2*0.5*omega_n, omega_n**2]),
'Critically Damped (ζ=1)': lti([omega_n**2], [1, 2*1.0*omega_n, omega_n**2]),
'Overdamped (ζ=2)': lti([omega_n**2], [1, 2*2.0*omega_n, omega_n**2])
}
# 绘制每个系统的阶跃响应
plt.figure(figsize=(10, 6))
for label, system in systems.items():
t, y = step(system, T=t)
plt.plot(t, y, label=label)
# 图表设置
plt.title('不同阻尼条件下的系统阶跃响应')
plt.xlabel('时间 [s]')
plt.ylabel('响应')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()
代码解释
lti:scipy.signal.lti函数用于定义线性时不变（LTI）系统。step:step函数用于计算系统的阶跃响应。systems: 定义了四种不同阻尼比 ζ zeta ζ的系统：无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼。
结论
通过上述分析和代码演示，我们可以看到阻尼比 ζ zeta ζ对系统动态响应的影响：
- 无阻尼系统（ ζ = 0 zeta = 0 ζ=0）会永远振荡，不会衰减。
- 欠阻尼系统（ 0 < ζ < 1 0 < zeta < 1 0<ζ<1）会振荡几次，随着时间的推移逐渐平稳。
- 临界阻尼系统（ ζ = 1 zeta = 1 ζ=1）是理想的，它在不振荡的情况下快速回到平衡。
- 过阻尼系统（ ζ > 1 zeta > 1 ζ>1）不会振荡，但比临界阻尼系统更慢地回到平衡状态。
理解和设计适当的阻尼对于工程应用至关重要，能够有效避免系统的过冲、延迟或持续振荡。在实际应用中，通常会设计系统使其接近临界阻尼状态，以确保快速而稳定的响应。
